Из точек А и В, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры АС и ВD ко второй стороне угла. а) Докажите,что АС II BD. б) Найдите угол АВD, если угол САВ= 125 градусов.

Рассмотрим задачу.

Часть а) Доказательство того, что $AC \parallel BD$

Пусть у нас есть острый угол с вершиной $O$, и стороны этого угла пересекаются точками $A$ и $B$. Предположим, что $A$ и $B$ лежат на одной стороне угла, а точки $C$ и $D$ лежат на другой стороне. Поскольку отрезки $AC$ и $BD$ — перпендикуляры, проведённые к одной стороне угла, они образуют с этой стороной угла углы по $90^\circ$.

Доказательство параллельности $AC$ и $BD$:

1. Так как $AC$ и $BD$ перпендикулярны одной и той же прямой (второй стороне угла), они образуют углы $\angle ACO = 90^\circ$ и $\angle BDO = 90^\circ$.
2. По свойству перпендикулярных прямых: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Таким образом, мы получили, что $AC \parallel BD$, так как они оба перпендикулярны к одной стороне угла.

Часть б) Найдём угол $\angle ABD$

Из условия задачи известно, что угол $\angle SAV = 125^\circ$. Теперь мы выразим угол $\angle ABD$ через него.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle SAV$, где $AC$ и $BD$ — перпендикуляры, а $S$ — точка пересечения сторон угла.
2. Из условия $\angle SAV = 125^\circ$, следовательно, смежный угол с ним, который образуется между $AV$ и $BV$, равен $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.
3. Так как $AC \parallel BD$, угол $\angle ABD$ будет равен углу $\angle SAV$ (так как это соответственные углы при параллельных прямых и секущей).

Таким образом, угол $\angle ABD = 55^\circ$.

Ответ:

• а) $AC \parallel BD$.
• б) $\angle ABD = 55^\circ$.