Решите неравенство (x-1)(x-2)/(x+3)2<0

Для того чтобы решить неравенство $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} \geq 0$, нужно выполнить несколько шагов. Разберем его поэтапно.

1. Исследование числителя и знаменателя

Неравенство выглядит так:

• Числитель: $(x-1)(x-2)$

• Знаменатель: $(x+3)^2$

Числитель и знаменатель – это произведение двух выражений. Знаменатель всегда больше или равен нулю, потому что квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю. Знаменатель будет равен нулю только в точке $x = -3$. В этой точке выражение неопределенно, поэтому мы исключаем $x = -3$ из области допустимых значений.

2. Знаки числителя

Теперь рассмотрим числитель $(x-1)(x-2)$.

• Он равен нулю при $x = 1$ и $x = 2$.

• Мы должны исследовать знак числителя на интервалах, образованных этими точками: $(- \infty, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.

Знаки числителя на интервалах:

• При $x < 1$ (например, $x = 0$): $(x-1)(x-2) = (-1)(-2) = 2$, то есть положительно.

• При $1 < x < 2$ (например, $x = 1.5$): $(x-1)(x-2) = (0.5)(-0.5) = -0.25$, то есть отрицательно.

• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $(x-1)(x-2) = (2)(1) = 2$, то есть положительно.

3. Неравенство с учетом знаков

Поскольку знаменатель всегда положителен или равен нулю, мы можем сосредоточиться на числителе. Нам нужно найти, когда числитель $(x-1)(x-2)$ будет больше или равен нулю.

Числитель положителен, когда:

• $x < 1$

• $x > 2$

Числитель равен нулю при $x = 1$ и $x = 2$.

Таким образом, неравенство $\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)^2} \geq 0$ выполняется на интервалах:

• $(-\infty, 1]$

• $[2, +\infty)$

Однако не забудьте, что $x = -3$ исключается, так как в этой точке знаменатель равен нулю, и выражение становится неопределенным.

4. Итоговый ответ

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$, при этом $x \neq -3$.