Укажите число целых решений неравенства \((x-1)^2 - 6(x-1) + 5 < 0\).

Для того чтобы решить неравенство $(x-1)^2 - 6(x-1) + 5 < 0$, начнём с упрощения выражения.

1. Замена переменной. Пусть $y = x - 1$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

   $$y^2 - 6y + 5 < 0$$

2. Решение квадратного неравенства. Теперь рассмотрим квадратное неравенство $y^2 - 6y + 5 < 0$.

   Для начала найдём корни квадратного уравнения $y^2 - 6y + 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ выглядит так:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Подставим значения $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$:

   $$D = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня. Находим их:

   $$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 \pm 4}{2}$$

   То есть:

   $$y_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$

3. Решение неравенства. Теперь у нас есть неравенство $y^2 - 6y + 5 < 0$, которое можно записать как:

   $$(y - 5)(y - 1) < 0$$

   Это неравенство истинно на промежутке между корнями $y_1 = 5$ и $y_2 = 1$. То есть:

   $$1 < y < 5$$

4. Возврат к переменной $x$. Поскольку $y = x - 1$, то неравенство $1 < y < 5$ эквивалентно:

   $$1 < x - 1 < 5$$

   Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

   $$2 < x < 6$$

5. Целые решения. Целые числа, которые лежат на промежутке $2 < x < 6$, это $x = 3, 4, 5$.

Таким образом, существует три целых решения этого неравенства.