Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Чтобы доказать, что если соединить вершины правильного восьмиугольника через одну, то получится квадрат, рассмотрим следующее:

1. Представление правильного восьмиугольника:
   Пусть у нас есть правильный восьмиугольник с вершинами $A_1, A_2, A_3, \dots, A_8$, которые расположены равномерно на окружности. Углы между соседними отрезками, соединяющими вершины, равны $45^\circ$ (так как полная окружность $360^\circ$ делится на 8 равных частей).

2. Соединение через одну вершину:
   Теперь, если мы будем соединять вершины через одну, то вершины, которые мы будем соединять, будут $A_1, A_3, A_5, A_7$, например. То есть, мы будем соединять вершины с шагом 2.

3. Рассмотрим угол между отрезками:
   Все отрезки, соединяющие эти вершины, будут расположены на одной окружности, и угол между любыми двумя смежными отрезками будет равен углу между двумя последовательными вершинами правильного восьмиугольника. Поскольку угол между двумя соседними вершинами восьмиугольника равен $45^\circ$, угол между двумя отрезками, соединяющими вершины через одну, будет равен $90^\circ$ (так как при переходе через одну вершину, угол увеличивается в два раза).

4. Доказательство, что фигура — квадрат:
   Поскольку угол между любыми двумя смежными отрезками равен $90^\circ$, а все отрезки равны (так как правильный восьмиугольник является равносторонним), то полученная фигура является квадратом. В квадрате все углы прямые, и все стороны равны, что соответствует нашим отрезкам.

Таким образом, при соединении вершин правильного восьмиугольника через одну вершину действительно получается квадрат.