В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Известно, что утром первыми в школу зашли двое мальчиков, а затем одна девочка из этого класса.
Сколько разных трёх первых учеников (2 мальчика и 1 девочка) могло получиться? Вася, Ваня, Таня и Ваня, Вася, Таня считаются разными случаями!

Для решения задачи определим количество способов выбрать двух мальчиков и одну девочку из заданного количества учеников.

В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Мы будем использовать комбинаторный подход для подсчета различных комбинаций.

1. Выбор двух мальчиков: Для выбора 2 мальчиков из 15 мы используем формулу сочетаний:

   $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

   где $n$ — общее количество, а $k$ — количество выбираемых элементов. В нашем случае $n = 15$ и $k = 2$:

   $$C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$$

2. Выбор одной девочки: Для выбора 1 девочки из 10 мы также применим формулу сочетаний:

   $$C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10$$

3. Общее количество вариантов: Чтобы получить общее количество различных комбинаций, мы перемножим количество способов выбрать мальчиков и девочек:

   $$\text{Общее количество} = C(15, 2) \times C(10, 1) = 105 \times 10 = 1050$$

4. Порядок учеников: Далее нам нужно учесть, что порядок, в котором ученики входят, важен. Мы знаем, что первые заходят два мальчика, а затем одна девочка. Для каждого выбора 2 мальчиков и 1 девочки существует только один способ упорядочить их, так как сначала входят мальчики, а потом девочка.

Таким образом, общее количество различных трёх первых учеников (2 мальчика и 1 девочка) составляет 1050. Каждый набор (например, Вася, Ваня, Таня) считается уникальным, так как порядок входа определен.

Итак, ответ: 1050 различных вариантов.