Найдите наименьшее значение 4x^2-2x+5

Возьмём квадратичную функцию $f(x)=4x^2-2x+5$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положительный ($4>0$), парабола направлена вверх, значит минимальное значение достигается в вершине.

Найдём вершину двумя способами (любой из них достаточен).

1) По формуле вершины.
Для $ax^2+bx+c$ абсцисса вершины: $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
Здесь $a=4,\; b=-2$, поэтому

Подставляем:

2) Доведение до квадрата.

Квадрат $\ge 0$, значит минимальное значение получается при $x=\frac14$ и равно $\dfrac{19}{4}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\boxed{\dfrac{19}{4}}$ (достигается при $x=\frac14$).