Исследуйте функцию на монотонность: а) y=x^4-2x^2-3 б) y=5x^5-1 в) y=(1-2x)/(3+2x)

Для того чтобы исследовать монотонность функции, необходимо найти её производную и проанализировать её знак. Если производная функции положительна на интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает. Рассмотрим каждую функцию по порядку.

а) $y = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Найдем производную функции:

   $$y' = \frac{d}{dx} (x^4 - 2x^2 - 3) = 4x^3 - 4x$$

2. Найдем критические точки, при которых производная равна нулю:

   $$4x^3 - 4x = 0$$ $$4x(x^2 - 1) = 0$$ $$x = 0, \pm 1$$

   Это критические точки функции.

3. Построим таблицу знаков производной, исследуя её на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$:

   • На интервале $(-\infty, -1)$ выберем точку $x = -2$:

     $$y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24$$

     Производная отрицательна, значит функция убывает.

   • На интервале $(-1, 0)$ выберем точку $x = -0.5$:

     $$y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -1 - (-2) = 1$$

     Производная положительна, значит функция возрастает.

   • На интервале $(0, 1)$ выберем точку $x = 0.5$:

     $$y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 1 - 2 = -1$$

     Производная отрицательна, значит функция убывает.

   • На интервале $(1, \infty)$ выберем точку $x = 2$:

     $$y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24$$

     Производная положительна, значит функция возрастает.

Ответ:

• Функция возрастает на интервалах $(-1, 0)$ и $(1, \infty)$,

• Функция убывает на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(0, 1)$.

б) $y = 5x^5 - 1$

1. Найдем производную функции:

   $$y' = \frac{d}{dx} (5x^5 - 1) = 25x^4$$

2. Проанализируем знак производной:

   • $y' = 25x^4$ всегда неотрицательно для всех $x$, так как $x^4 \geq 0$ для всех $x$.

3. Знак производной:

   • Производная равна нулю при $x = 0$.

   • Производная положительна для всех $x \neq 0$, то есть функция возрастает на всей числовой оси, за исключением точки $x = 0$, где её производная равна нулю (точка экстремума).

Ответ:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$,

• В точке $x = 0$ у функции есть экстремум (минимум).

в) $y = \frac{1 - 2x}{3 + 2x}$

1. Найдем производную функции:
   Используем правило дифференцирования дроби $\frac{f(x)}{g(x)}$:

   $$y' = \frac{(3 + 2x)(-2) - (1 - 2x)(2)}{(3 + 2x)^2}$$

   Упростим числитель:

   $$y' = \frac{-6 - 4x - 2 + 4x}{(3 + 2x)^2} = \frac{-8}{(3 + 2x)^2}$$