Решите уравнение \((1-2x)^4 - 5(1-2x)^2 = -4\).

Для решения уравнения $(1 - 2x)^4 - 5(1 - 2x)^2 = -4$, начнем с замены переменной, чтобы упростить уравнение.

1. Пусть $y = (1 - 2x)^2$. Тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - 5y = -4$$

2. Переносим все члены на одну сторону:

   $$y^2 - 5y + 4 = 0$$

3. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для решения квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ следующая:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем уравнении $a = 1$, $b = -5$, и $c = 4$. Подставляем значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$$ $$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$y = \frac{5 \pm 3}{2}$$

4. Таким образом, у нас есть два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{или} \quad y = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

5. Теперь возвращаемся к исходной переменной. Напоминаем, что $y = (1 - 2x)^2$. Рассмотрим оба случая.

   Случай 1: $y = 4$

   $$(1 - 2x)^2 = 4$$

   Берем квадратный корень из обеих сторон:

   $$1 - 2x = \pm 2$$

   Если $1 - 2x = 2$, то:

   $$-2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2}$$

   Если $1 - 2x = -2$, то:

   $$-2x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$

   Случай 2: $y = 1$

   $$(1 - 2x)^2 = 1$$

   Берем квадратный корень из обеих сторон:

   $$1 - 2x = \pm 1$$

   Если $1 - 2x = 1$, то:

   $$-2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

   Если $1 - 2x = -1$, то:

   $$-2x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

6. Все возможные значения для $x$ — это $x = -\frac{1}{2}$, $x = \frac{3}{2}$, $x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0, 1$.