В прямоугольном треугольнике ABC внешний угол при вершине A равен 120°. Катет AC = 17. Найдите гипотенузу AB.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и внешний угол.

1. В прямоугольном треугольнике ABC угол при вершине C равен 90° (по определению прямоугольного треугольника). Поскольку внешний угол при вершине A равен 120°, то внутренний угол при вершине A будет равен:

   $$\angle A = 180° - 120° = 60°$$

2. Теперь у нас есть два угла: $\angle A = 60°$ и $\angle C = 90°$. Третий угол $\angle B$ можно найти из того, что сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. То есть:

   $$\angle B = 180° - 60° - 90° = 30°$$

3. Теперь, зная углы, можем применить тригонометрические функции для нахождения гипотенузы. Используем синус угла 30° для выражения гипотенузы через катет AC. В прямоугольном треугольнике для угла 30° выполняется следующее соотношение:

   $$\sin(30°) = \frac{AC}{AB}$$

   Из этого выражения можно найти гипотенузу AB:

   $$\frac{1}{2} = \frac{17}{AB}$$

4. Решаем это уравнение относительно AB:

   $$AB = 2 \times 17 = 34$$

Таким образом, гипотенуза треугольника AB равна 34.