В треугольнике ABC угол C=90°, AB=12. Внешний угол при вершине B равен 120°. Найдите BC.

В задаче дан прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°, и сторона AB (гипотенуза) равна 12. Также известно, что внешний угол при вершине B равен 120°. Необходимо найти длину стороны BC.

1. Внешний угол при вершине B — это угол, образующийся между продолжением стороны BC и стороной AB. Он равен 120°.

2. Поскольку угол ABC внутри треугольника и угол внешнего угла образуют пару смежных углов, то угол ABC будет равен 180° - 120° = 60°.

Теперь у нас есть два угла треугольника:

• Угол C = 90° (по условию),

• Угол B = 60° (мы только что его нашли).

Остальной угол, угол A, можно найти как:
$\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 60° - 90° = 30°.$

Теперь, зная углы треугольника, можно применить теорему синусов, чтобы найти длину стороны BC. Теорема синусов в треугольнике гласит, что отношение длины стороны к синусу противоположного угла одинаково для всех сторон треугольника. То есть:

Подставим известные значения:

• $AB = 12$,

• $\angle C = 90°$, тогда $\sin \angle C = 1$,

• $\angle A = 30°$, тогда $\sin \angle A = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим в формулу:

Отсюда:

Ответ: длина стороны BC равна 6.