В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD = 12.

Возьмём вектора: пусть $\vec{AB}=\mathbf{b}$, $\vec{AD}=\mathbf{d}$. Тогда
$A=\mathbf{0}$, $B=\mathbf{b}$, $D=\mathbf{d}$, $C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$.

Точка $M$ — середина $BC$:

Пусть $K=AM\cap BD$.
Запишем параметрически:

Сравнивая коэффициенты при $\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}$:

Из второго $s=\tfrac{t}{2}$. Подставляем в первое:

Параметр $s$ — доля отрезка $BD$, отсчитанная от точки $B$, значит

При $BD=12$ получаем $BK=\frac{1}{3}\cdot 12=4$.

Ответ: $4$.