Найти производную от \( 2\sin(2x) \) с пояснением! Я знаю, что это \( 4\cos(2x) \), но как получили это значение?

Для того чтобы найти производную от $2\sin(2x)$, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. В данном случае функция состоит из двух частей:

1. Коэффициент 2, который умножается на функцию $\sin(2x)$.

2. Функция $\sin(2x)$, в которой аргументом является $2x$, а не просто $x$.

Шаг 1: Применим правило дифференцирования произведения

Первая часть — это просто коэффициент 2, который остается на месте, так как его производная равна 0. Для второй части мы применим цепное правило, так как внутри синуса находится функция $2x$.

Цепное правило гласит, что производная от $\sin(g(x))$ равна $\cos(g(x)) \cdot g'(x)$, где $g(x)$ — это внутренняя функция.

Шаг 2: Находим производную от $\sin(2x)$

Мы применяем цепное правило:

• $g(x) = 2x$, и производная от $2x$ по $x$ равна 2.

• Таким образом, производная от $\sin(2x)$ равна $\cos(2x) \cdot 2$.

Шаг 3: Собираем все вместе

Теперь, если мы умножим на внешний коэффициент 2, получаем:

Таким образом, производная от $2\sin(2x)$ равна $4\cos(2x)$.