Найдите область значений функции у = х² - 4х - 7, где х ∈ [-1; 5].

Для нахождения области значений функции $y = x^2 - 4x - 7$, где $x \in [-1; 5]$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим вид функции:
   Функция $y = x^2 - 4x - 7$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положительный. Парабола будет иметь минимум, который нужно найти.

2. Найдем вершину параболы.
   Вершина параболы для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

   $$x_{vertex} = \frac{-b}{2a}$$

   Здесь $a = 1$, $b = -4$, $c = -7$, поэтому:

   $$x_{vertex} = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$$

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $x = 2$.

3. Посчитаем значение функции в вершине:
   Подставим $x = 2$ в уравнение функции:

   $$y(2) = (2)^2 - 4(2) - 7 = 4 - 8 - 7 = -11$$

   Это означает, что минимальное значение функции $y$ на отрезке $x \in [-1; 5]$ равно $-11$.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:
   Теперь вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 5$:

   • Для $x = -1$:

     $$y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2$$

   • Для $x = 5$:

     $$y(5) = (5)^2 - 4(5) - 7 = 25 - 20 - 7 = -2$$

5. Окончательный результат:
   Мы нашли, что минимальное значение функции $y = x^2 - 4x - 7$ на отрезке $[-1; 5]$ равно $-11$, а максимальное — $-2$, которое достигается как в точке $x = -1$, так и в точке $x = 5$.

Таким образом, область значений функции на отрезке $[-1; 5]$ будет $[-11; -2]$.