В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите ее объем.

Для нахождения объема правильной четырёхугольной пирамиды можно использовать следующую формулу:

где:

• $V$ — объем пирамиды,

• $S_b$ — площадь основания пирамиды,

• $h$ — высота пирамиды.

Площадь основания $S_b$ у правильной четырёхугольной пирамиды равна площади квадрата, который является основанием. Чтобы найти её, нужно знать длину стороны квадрата.

1. Нахождение длины стороны квадрата основания:

Площадь основания $S_b$ квадрата выражается через длину его стороны $a$:

Чтобы найти $a$, нужно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного половиной стороны основания квадрата, высотой пирамиды и боковым ребром.

Обозначим:

• $a$ — длина стороны квадрата основания,

• $h = 3$ — высота пирамиды,

• $l = 5$ — боковое ребро пирамиды.

Из треугольника, в котором гипотенуза — это боковое ребро пирамиды, а катеты — половина стороны основания и высота пирамиды, получаем:

Подставляем значения $h = 3$ и $l = 5$:

2. Нахождение площади основания:

Теперь, когда мы знаем длину стороны основания $a = 8$, находим площадь основания:

3. Нахождение объема:

Теперь можем найти объем пирамиды:

Ответ: объем пирамиды равен 64 кубическим единицам.