Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла AMC проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что угол MDC равен 45 градусам.

Обозначим углы параллелограмма: пусть $\angle A=\alpha$. Тогда $\angle B=\angle D=180^\circ-\alpha$, $\angle C=\alpha$.

1) Используем условие про биссектрису угла $A$

Пусть $AB=1$, а $AD=t$. Расположим:

• $A=(0,0)$

• $B=(1,0)$

• луч $AD$ образует с $AB$ угол $\alpha$, значит
  $D=(t\cos\alpha,\ t\sin\alpha)$,
  $C=(1+t\cos\alpha,\ t\sin\alpha)$.

Точка $M$ лежит на $BC$, причём $BC\parallel AD$. Поэтому

то есть

Но $AM$ — биссектриса угла $A$, значит прямая $AM$ идёт под углом $\alpha/2$ к оси $AB$, и для точки $M$ выполняется

Подставляем координаты $M$:

Используем формулу $\tan(\alpha/2)=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ и сокращаем $\sin\alpha\neq 0$:

Перемножаем крест-накрест:

Значит

Важный вывод: точка $M$ определяется только углом $\alpha$ (длина $t$ «сократилась»).

2) Условие: биссектриса $\angle AMC$ проходит через $D$

Рассмотрим векторы из точки $M$:

• $\overrightarrow{MA}=A-M=\bigl(-(1+\cos\alpha),\ -\sin\alpha\bigr)$

• $\overrightarrow{MC}=C-M=\bigl((t-1)\cos\alpha,\ (t-1)\sin\alpha\bigr)$

• $\overrightarrow{MD}=D-M=\bigl((t-1)\cos\alpha-1,\ (t-1)\sin\alpha\bigr)$.

Найдём единичные направления:

1. Длина $MA$: