2cos^2x+3sinx=0

Решим уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x = 0$.

1. Приведём уравнение к более удобному виду.

   Мы знаем, что для любого угла $x$ выполняется тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это в уравнение:

   $$2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 0.$$

2. Упростим выражение.

   Раскроем скобки:

   $$2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 0.$$

3. Преобразуем уравнение в квадратное.

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$-2\sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0.$$

   Умножим всё на $-1$, чтобы упростить решение:

   $$2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0.$$

4. Решим полученное квадратное уравнение.

   Пусть $y = \sin x$. Тогда у нас получается стандартное квадратное уравнение:

   $$2y^2 - 3y - 2 = 0.$$

   Решим его с помощью дискриминанта:

   Дискриминант $D$ равен:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$

   Корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

   $$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}.$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}.$$

5. Возвращаемся к $\sin x$.

   У нас есть два возможных значения для $\sin x$:

   $$\sin x = 2 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}.$$

   Однако, так как значение синуса для любого угла $x$ ограничено интервалом от -1 до 1, первое решение $\sin x = 2$ невозможно. Таким образом, остаётся только:

   $$\sin x = -\frac{1}{2}.$$

6. Находим значения $x$.

   Из $\sin x = -\frac{1}{2}$ получаем, что $x$ может быть:

   $$x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right).$$

   В стандартном интервале $[0, 2\pi]$ решение будет:

   $$x = \frac{7\pi}{6}, \quad x = \frac{11\pi}{6}.$$

   Эти значения можно обобщить, добавив период $2\pi n$ для всех целых чисел $n$:

   $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.