Решите уравнения: 1)tgx=2-tg^2x 2)2sin^2x+cos^2x-3sinx-5=0

1) Уравнение: tg(x) = 2 - tg²(x)

Для решения уравнения tg(x) = 2 - tg²(x), давайте введем новую переменную:

Пусть t = tg(x), тогда уравнение примет вид:
t = 2 - t².

Переносим все в одну сторону:
t² + t - 2 = 0.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для квадратных уравнений:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,
где a = 1, b = 1, c = -2.

t = (-1 ± √(1² - 4(1)(-2))) / 2(1),
t = (-1 ± √(1 + 8)) / 2,
t = (-1 ± √9) / 2,
t = (-1 ± 3) / 2.

Таким образом, получаем два значения:
t₁ = (-1 + 3) / 2 = 1,
t₂ = (-1 - 3) / 2 = -2.

Теперь возвращаемся к переменной tg(x):

1. tg(x) = 1 → x = π/4 + nπ, где n — целое число.

2. tg(x) = -2 → x = arctg(-2) + nπ.

Таким образом, решения для x:
x = π/4 + nπ и x = arctg(-2) + nπ, где n — целое число.

2) Уравнение: 2sin²(x) + cos²(x) - 3sin(x) - 5 = 0

Для решения этого уравнения используем тригонометрическое тождество: cos²(x) = 1 - sin²(x).

Подставляем это в исходное уравнение:
2sin²(x) + (1 - sin²(x)) - 3sin(x) - 5 = 0.

Упростим:
2sin²(x) + 1 - sin²(x) - 3sin(x) - 5 = 0,
sin²(x) - 3sin(x) - 4 = 0.

Это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью формулы для квадратных уравнений:
sin(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,
где a = 1, b = -3, c = -4.

sin(x) = (3 ± √((-3)² - 4(1)(-4))) / 2(1),
sin(x) = (3 ± √(9 + 16)) / 2,
sin(x) = (3 ± √25) / 2,
sin(x) = (3 ± 5) / 2.

Получаем два возможных значения:
sin(x) = (3 + 5) / 2 = 4,
sin(x) = (3 - 5) / 2 = -1.

Рассматриваем решения:

1. sin(x) = 4 — это невозможно, так как значение синуса не может быть больше 1.

2. sin(x) = -1 — решение существует, x = 3π/2 + 2nπ, где n — целое число.

Таким образом, единственное решение:
x = 3π/2 + 2nπ, где n — целое число.