Cos3x+cos2x+cosx=0 решить уравнение

Для того чтобы решить уравнение $\cos(3x) + \cos(2x) + \cos(x) = 0$, рассмотрим несколько шагов.

1. Применение тригонометрических формул

Для начала воспользуемся формулами для представления косинусов с углами $3x$ и $2x$.

1. Для $\cos(3x)$: используется формула для тройного угла:

   $$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$$

2. Для $\cos(2x)$: используется формула для удвоенного угла:

   $$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2. Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

Это кубическое уравнение относительно $\cos(x)$.

3. Обозначение $y = \cos(x)$

Чтобы упростить решение, введем обозначение $y = \cos(x)$. Тогда уравнение примет вид:

4. Решение кубического уравнения

Теперь решим кубическое уравнение $4y^3 + 2y^2 - 2y - 1 = 0$. Для этого можно использовать метод подбора возможных корней. Попробуем подставить простые значения для $y$.

1. Подставим $y = -1$:

Это не равно нулю, значит, $y = -1$ не является корнем.

2. Подставим $y = \frac{1}{2}$:

Таким образом, $y = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

5. Разложение кубического уравнения

Теперь, когда мы нашли один корень, можем разложить кубическое уравнение на множители:

Решим квадратное уравнение $4y^2 + 4y + 2 = 0$:

Это уравнение имеет дискриминант:

Так как дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

6. Окончательное решение

Таким образом, единственный действительный корень уравнения $4y^3 + 2y^2 - 2y - 1 = 0$