Решите уравнение: cosx + cos2x + cos3x = 0 на отрезке (0; 2π).

Для решения уравнения $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$ на отрезке $(0; 2\pi)$, будем использовать тригонометрические преобразования и свойства косинуса.

1. Применим формулы для суммы косинусов:

   Начнем с того, что у нас есть сумма косинусов с разными аргументами. Мы можем преобразовать эту сумму с использованием формулы для суммы косинусов. Сначала раскроем $\cos x + \cos 3x$:

   $$\cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x - x}{2} \right)$$

   Получаем:

   $$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cos x$$

2. Подставим это в исходное уравнение:

   Теперь подставим это в исходное уравнение:

   $$2 \cos 2x \cos x + \cos 2x = 0$$

3. Вынесем общий множитель $\cos 2x$:

   Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

   $$\cos 2x (2 \cos x + 1) = 0$$

4. Решаем два уравнения:

   Теперь у нас два возможных уравнения:

   • $\cos 2x = 0$

   • $2 \cos x + 1 = 0$

   Решим первое уравнение $\cos 2x = 0$:

   $$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{(где \( k \) — целое число)}$$

   Тогда:

   $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$

   На отрезке $(0; 2\pi)$ возможные значения $x$:

   $$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$$

   Решим второе уравнение $2 \cos x + 1 = 0$:

   $$\cos x = -\frac{1}{2}$$

   Значения $x$, при которых $\cos x = -\frac{1}{2}$, на отрезке $(0; 2\pi)$:

   $$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$$

5. Ответ:

   Все решения уравнения $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$ на отрезке $(0; 2\pi)$ — это:

   $$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$$