Два треугольника имеют общее основание. Высота одного из них на 5 см больше высоты другого. Определить высоту меньшего треугольника, если их площади 120 см² и 180 см².

Для решения задачи давайте обозначим высоту меньшего треугольника как $h_1$, а высоту большего треугольника — как $h_2$. Из условия задачи известно, что $h_2 = h_1 + 5$ см.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Поскольку оба треугольника имеют общее основание, обозначим его как $b$. Тогда площади треугольников можно записать как:

Так как $h_2 = h_1 + 5$, подставим это выражение во вторую формулу:

Умножим обе стороны уравнения на 2:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $\frac{1}{2} \times b \times h_1 = 120$

2. $b \times (h_1 + 5) = 360$

Из первого уравнения выразим $b$:

Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

Умножим обе стороны на $h_1$:

Раскроем скобки:

Переносим все слагаемые, содержащие $h_1$, на одну сторону:

Теперь решим для $h_1$:

Таким образом, высота меньшего треугольника равна 10 см.