В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Обозначим множества:

• $M$ — пользуются метро, $|M| = 20$

• $A$ — пользуются автобусом, $|A| = 15$

• $T$ — пользуются троллейбусом, $|T| = 23$

Дано также пересечения попарно:

• $|M \cap T| = 10$ (и метро, и троллейбус)

• $|M \cap A| = 12$ (и метро, и автобус)

• $|T \cap A| = 9$ (и троллейбус, и автобус)

Нужно найти $|M \cap A \cap T|$, то есть сколько человек пользуются всеми тремя.

Поскольку в классе 30 человек, и речь идет о том, кто какими видами транспорта пользуется ежедневно, считаем, что все 30 входят в объединение $M \cup A \cup T$, то есть:

Применим формулу включений–исключений:

Подставим числа:

где $x = |M \cap A \cap T|$.

Считаем по шагам:

1. Сумма одиночных:

2. Сумма попарных пересечений:

3. Вычитаем:

Получаем:

Ответ: 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.