Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно стороне ее основания. 1. Каким ребрам перпендикулярна меньшая диагональ призмы и почему? 2. Найдите углы между каждой из диагоналей и плоскостью основания призмы.

Рассматриваем правильную шестиугольную призму, то есть прямую призму с правильным шестиугольником в основании. Пусть сторона основания равна $a$. По условию боковое ребро (высота) тоже равно $a$, то есть $h=a$.

Обозначим нижнее основание $A B C D E F$, верхнее — $A'B'C'D'E'F'$ (вершина $X'$ находится над $X$).

В такой призме есть два типа пространственных диагоналей (не лежащих целиком ни в основании, ни в боковой грани):

• меньшая диагональ: например, $AC'$ (или $AE'$) — проекция на основание равна диагонали $AC$ правильного шестиугольника длины $\sqrt3\,a$;

• большая диагональ: например, $AD'$ — проекция на основание равна диаметру $AD$ длины $2a$.

1) Каким рёбрам перпендикулярна меньшая диагональ призмы и почему?

Возьмём меньшую диагональ $AC'$.

Её проекция на плоскость основания — это отрезок $AC$ (потому что точка $C'$ проектируется в $C$, а $A$ уже лежит в основании).

Теперь ключевое свойство правильного шестиугольника:

• диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$.

Это легко понять, если смотреть на направления в правильном шестиугольнике: сторона $CD$ идёт “вниз-влево”, а диагональ $AC$ — “вверх-влево”, и в координатной модели их скалярное произведение равно нулю (или можно вывести через углы $60^\circ$).

Так как $CD$ лежит в плоскости основания (то есть у него нет вертикальной составляющей), то перпендикулярность определяется только горизонтальной (плоской) частью диагонали. А горизонтальная часть $AC'$ как раз и есть $AC$. Значит:

Кроме того, ребро $C'D'$ параллельно $CD$ (верхнее основание параллельно нижнему, соответствующие стороны параллельны), поэтому:

Ответ к п.1: меньшая диагональ $AC'$ перпендикулярна рёбрам $CD$ и $C'D'$ (и, аналогично, если взять другую меньшую диагональ $AE'$, то она будет перпендикулярна $DE$ и $D'E'$).

2) Найдите углы между каждой из диагоналей и плоскостью основания

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Также удобно использовать формулу:

потому что вертикальная составляющая любой пространственной диагонали здесь равна $h=a$.

(а) Меньшая диагональ $AC'$

• Проекция на основание: $AC$.

• В правильном шестиугольнике $AC=\sqrt3\,a$.

• Высота $h=a$.

Длина диагонали:

Тогда

Угол между меньшей диагональю и плоскостью основания: $30^\circ$