Докажите, что \( n(n+1)(n+2) \) делится на 6 при любом целом \( n \).

Рассмотрим произведение трёх последовательных целых чисел:

Нужно доказать, что оно делится на $6$ при любом целом $n$. Так как

достаточно показать, что произведение делится и на $2$, и на $3$. Тогда, поскольку $2$ и $3$ взаимно просты, будет следовать делимость на $6$.

1) Делимость на 2

Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно чётное.

Действительно, чётность чередуется: чётное–нечётное–чётное–нечётное–…
Если $n$ чётное — готово. Если $n$ нечётное, то $n+1$ чётное. В любом случае среди множителей $n$, $n+1$, $n+2$ есть чётный, значит произведение делится на $2$.

2) Делимость на 3

Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно есть число, делящееся на $3$.

Это удобно увидеть по остаткам при делении на $3$. Любое целое число даёт один из остатков $0,1,2$. Рассмотрим три случая:

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n$ делится на $3$.

• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$, значит $n+2$ делится на $3$.

• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n+1 \equiv 0 \pmod{3}$, значит $n+1$ делится на $3$.

Во всех случаях один из множителей $n$, $n+1$, $n+2$ кратен $3$, следовательно произведение делится на $3$.

3) Итог: делимость на 6

Мы показали:

• $n(n+1)(n+2)$ делится на $2$;

• $n(n+1)(n+2)$ делится на $3$.

Так как $\gcd(2,3)=1$, из делимости на $2$ и на $3$ следует делимость на $2\cdot 3 = 6$. Значит, для любого целого $n$