Найдите производную функции y = x^sin(2x)

Для того чтобы найти производную функции $y = x^{\sin(2x)}$, воспользуемся методом логарифмирования.

1. Логарифмируем обе части уравнения:

2. Используем свойства логарифмов, что $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, чтобы упростить:

3. Теперь находим производную по $x$ от обеих сторон уравнения. Сначала применим правило дифференцирования сложной функции слева, а затем дифференцируем правую часть:

4. Теперь дифференцируем каждую из составляющих:

Подставляем их в выражение:

5. Теперь, возвращаясь к исходной функции, умножаем полученную производную на $\frac{1}{y}$, что даст нам:

6. Умножаем обе части уравнения на $y$ (то есть на $x^{\sin(2x)}$):

Это и будет искомая производная функции $y = x^{\sin(2x)}$.