4 первокурсника, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать троих студентов на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

Для того чтобы выбрать троих студентов на конференцию, при этом среди выбранных должны быть студенты разных курсов, давайте разберем задачу поэтапно.

У нас есть три категории студентов:

• 4 первокурсника,

• 5 второкурсников,

• 6 третьекурсников.

Нам нужно выбрать троих студентов таким образом, чтобы среди них были студенты разных курсов. Возможные комбинации курсов для троих студентов следующие:

1. 1 первокурсник, 1 второкурсник, 1 третьекурсник.

2. 2 первокурсника, 1 второкурсник, 1 третьекурсник.

3. 1 первокурсник, 2 второкурсника, 1 третьекурсник.

4. 1 первокурсник, 1 второкурсник, 2 третьекурсника.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: 1 первокурсник, 1 второкурсник, 1 третьекурсник

Для выбора таких студентов у нас есть:

• 4 варианта для первокурсника,

• 5 вариантов для второкурсника,

• 6 вариантов для третьекурсника.

Общее количество способов в этом случае:
$4 \times 5 \times 6 = 120$

Случай 2: 2 первокурсника, 1 второкурсник, 1 третьекурсник

Для выбора таких студентов у нас есть:

• $\binom{4}{2} = 6$ вариантов для выбора 2 первокурсников,

• 5 вариантов для второкурсника,

• 6 вариантов для третьекурсника.

Общее количество способов в этом случае:
$6 \times 5 \times 6 = 180$

Случай 3: 1 первокурсник, 2 второкурсника, 1 третьекурсник

Для выбора таких студентов у нас есть:

• 4 варианта для первокурсника,

• $\binom{5}{2} = 10$ вариантов для выбора 2 второкурсников,

• 6 вариантов для третьекурсника.

Общее количество способов в этом случае:
$4 \times 10 \times 6 = 240$

Случай 4: 1 первокурсник, 1 второкурсник, 2 третьекурсника

Для выбора таких студентов у нас есть:

• 4 варианта для первокурсника,

• 5 вариантов для второкурсника,

• $\binom{6}{2} = 15$ вариантов для выбора 2 третьекурсников.

Общее количество способов в этом случае:
$4 \times 5 \times 15 = 300$

Суммарное количество способов

Теперь суммируем количество способов для всех случаев:
$120 + 180 + 240 + 300 = 840$

Ответ: всего 840 способов выбрать троих студентов на конференцию, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов.