В группе учатся 30 студентов, из них 20 студентов получили зачет по экономике и 20 студентов получили зачет по англ.яз. Выберите утверждения, которые следуют их приведенных данных. В этой группе
1. найдутся 11 студентов, не получивших ни одного зачета
2. хотя бы 10 студентов получили зачеты и по экономике, и по англ.яз
3. не больше 20 студентов получили зачет и по экономике, и по англ.яз
4. найдется студент, который не получил зачета по англ.яз., но получил зачет по экономике.

Давайте разберем утверждения на основе приведенных данных и фактов теории множеств.

Дано:

1. Всего студентов в группе: 30.
2. Зачет по экономике получили: 20 студентов.
3. Зачет по английскому языку получили: 20 студентов.

Обозначим:

• $A$ — множество студентов, получивших зачет по экономике ($|A| = 20$).
• $B$ — множество студентов, получивших зачет по английскому ($|B| = 20$).

Из теоремы о сложении мощностей множеств:

где $|A \cup B| \leq 30$ (максимальное число студентов).

1. Утверждение: "Найдутся 11 студентов, не получивших ни одного зачета."

Если студент не получил зачета ни по экономике, ни по английскому, то он не входит ни в $A$, ни в $B$. Количество таких студентов равно:

Максимальная мощность объединения $A \cup B$ достигается, когда пересечение $|A \cap B| = 10$ (минимальное перекрытие). В этом случае:

Следовательно, студентов, не получивших зачета, в группе будет $30 - 30 = 0$. Утверждение неверно.

2. Утверждение: "Хотя бы 10 студентов получили зачеты и по экономике, и по английскому языку."

Из формулы $|A \cup B| \leq 30$:

Отсюда:

Значит, хотя бы 10 студентов действительно получили зачеты по обоим предметам. Утверждение верно.

3. Утверждение: "Не больше 20 студентов получили зачет и по экономике, и по английскому языку."

Пересечение $|A \cap B|$ не может превышать меньшее из $|A|$ или $|B|$, то есть:

Следовательно, утверждение верно.

4. Утверждение: "Найдется студент, который не получил зачета по английскому языку, но получил зачет по экономике."

Таких студентов — это те, кто входит в $A$, но не входит в $B$, то есть:

При $|A \cap B| = 10$:

Значит, таких студентов существует не менее 10. Утверждение верно.

Вывод:

Верные утверждения: 2, 3, 4.