В олимпиаде по иностранному языку принимали участие 40 студентов. Им было предложено ответить на 3 вопроса, один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике. Результаты проверки: ответили по лексикологии- 20 студентов ,
по страноведению -18 студентов,
по стилистике- 18 студентов, а
по лексикологии и страноведению -7 студентов, по лексикологии и стилистике 8 студентов, по страноведению и лексикологии 9 студентов. Известно так же, что 3 студентов не ответили ни на один вопрос.
Сколько студентов ответили на все 3 вопроса? Сколько студентов ответили только на 2 вопроса?

Для решения задачи используем принцип включений и исключений.

Пусть:

• $L$ — множество студентов, ответивших на вопрос по лексикологии,
• $S$ — множество студентов, ответивших на вопрос по страноведению,
• $T$ — множество студентов, ответивших на вопрос по стилистике.

Из условий задачи:

• $|L| = 20$ — 20 студентов ответили на вопрос по лексикологии,
• $|S| = 18$ — 18 студентов ответили на вопрос по страноведению,
• $|T| = 18$ — 18 студентов ответили на вопрос по стилистике,
• $|L \cap S| = 7$ — 7 студентов ответили и на вопрос по лексикологии, и на вопрос по страноведению,
• $|L \cap T| = 8$ — 8 студентов ответили и на вопрос по лексикологии, и на вопрос по стилистике,
• $|S \cap T| = 9$ — 9 студентов ответили и на вопрос по страноведению, и на вопрос по стилистике,
• 3 студента не ответили на ни один вопрос, значит, общее количество студентов, которые хотя бы один вопрос ответили, равно $40 - 3 = 37$.

Необходимо найти:

1. Сколько студентов ответили на все 3 вопроса (на $L \cap S \cap T$),
2. Сколько студентов ответили только на два вопроса (на $L \cap S$, $L \cap T$ и $S \cap T$, но без тройного пересечения).

1. Сколько студентов ответили на все 3 вопроса

Для нахождения числа студентов, ответивших на все три вопроса, используем формулу для объединения трех множеств:

Из условия задачи $|L \cup S \cup T| = 37$, так как 3 студента не ответили на ни один вопрос.

Подставим известные значения:

Решим это уравнение:

Итак, 5 студентов ответили на все три вопроса.

2. Сколько студентов ответили только на два вопроса

Теперь, чтобы найти количество студентов, которые ответили только на два вопроса, нужно учесть пересечения двух множеств, но вычесть те, которые уже учтены в пересечении всех трех множеств. Рассмотрим каждый из случаев:

• Студенты, ответившие только на вопросы по лексикологии и страноведению (но не на стилистику): $|L \cap S| - |L \cap S \cap T| = 7 - 5 = 2$.
• Студенты, ответившие только на вопросы по лексикологии и стилистике (но не на страноведение): $|L \cap T| - |L \cap S \cap T| = 8 - 5 = 3$.
• Студенты, ответившие только на вопросы по страноведению и стилистике (но не на лексикологию): $|S \cap T| - |L \cap S \cap T| = 9 - 5 = 4$.

Таким образом, количество студентов, которые ответили только на два вопроса:

Ответ:

• 5 студентов ответили на все три вопроса.
• 9 студентов ответили только на два вопроса.