4) 3tgx-12ctgx+5=0 5) 10sin^2x-3sin2x=8

Для решения данных уравнений начнем с каждого по очереди.

1. Уравнение: $3tgx - 12ctgx + 5 = 0$

Перепишем его для удобства:

Напоминаем, что $ctgx$ — это котангенс, который равен $\frac{1}{tgx}$, так что подставим это в уравнение:

Теперь умножим обе части уравнения на $tgx$, чтобы избавиться от дроби:

Перегруппируем все члены:

Теперь это квадратное уравнение относительно $tgx$. Пусть $t = tgx$, тогда у нас получается стандартное квадратное уравнение:

Решим его с помощью формулы для квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = 3$, $b = 5$, $c = -12$.

Подставляем значения:

Теперь находим два значения для $t$:

1. $t = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

2. $t = \frac{-5 - 13}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

То есть, $tgx = \frac{4}{3}$ или $tgx = -3$.

Теперь найдём $x$:

1. Если $tgx = \frac{4}{3}$, то $x = \arctg\left(\frac{4}{3}\right)$.

2. Если $tgx = -3$, то $x = \arctg(-3)$.

Так как тангенс периодичен с периодом $\pi$, решения будут иметь вид:

где $n$ — целое число.

2. Уравнение: $10 \sin^2x - 3 \sin 2x = 8$

Используем тождество для удвоенного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Подставляем это в уравнение:

Теперь введем замену: $$