Дан треугольник ABC, a=35, c=45, найти угол B.

В стандартных обозначениях треугольника $ABC$:

• $a = BC$,

• $b = AC$,

• $c = AB$,

и угол $B$ — это угол между сторонами $BA$ и $BC$, то есть между $c$ и $a$.

Дано: $a = 35$, $c = 45$. Нужно найти $\angle B$.

Почему угол $B$ по этим данным найти нельзя однозначно

Чтобы однозначно определить угол $B$, нужно знать три элемента, позволяющих “зафиксировать” треугольник: например, три стороны (SSS) или две стороны и угол между ними (SAS) и т.п.
Здесь известны только две стороны, которые сходятся в вершине $B$. Третья сторона $b$ неизвестна, а без неё треугольник может быть “разной формы”, значит и $\angle B$ будет разным.

Что можно сказать точно: возможные значения угла $B$

Третья сторона $b$ должна удовлетворять неравенствам треугольника:

Подставим числа:

То есть $b$ может быть любым числом строго между $10$ и $80$.

А угол $B$ выражается через стороны по теореме косинусов:

Отсюда:

Подставляя $a=35$, $c=45$:

Поскольку $b$ может меняться в пределах $10$, то $\angle B$ тоже может меняться.

• Если $b \to 10^+$, треугольник “сплющивается”, и $\angle B \to 0^\circ$.

• Если $b \to 80^-$, треугольник снова “сплющивается” с другой стороны, и $\angle B \to 180^\circ$.

Значит для нормального (невырожденного) треугольника:

Итог

По данным $a=35$ и $c=45$ угол $B$ найти нельзя однозначно: он зависит от третьей стороны $b$ (или от любого другого дополнительного условия).
Можно лишь записать формулу: