Точка M — середина ребра BC, точка N — середина отрезка DM. Выразите вектор AN через векторы b = AB, c = AC, d = AD.

Для того чтобы выразить вектор $\overrightarrow{AN}$ через векторы $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$, $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC}$, $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD}$, давайте поэтапно разберем ситуацию.

1. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$, то есть $M$ делит отрезок $BC$ пополам. Вектор $\overrightarrow{M}$ будет выражаться как:

   $$\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}.$$

   Поскольку $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ и $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC}$, можно выразить векторы $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{C}$ через $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$:

   $$\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + \mathbf{b}, \quad \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \mathbf{c}.$$

   Подставляем это в выражение для $\overrightarrow{M}$:

   $$\overrightarrow{M} = \frac{(\overrightarrow{A} + \mathbf{b}) + (\overrightarrow{A} + \mathbf{c})}{2} = \overrightarrow{A} + \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2}.$$

2. Точка $N$ — середина отрезка $DM$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{NM}$, то есть $N$ делит отрезок $DM$ пополам. Вектор $\overrightarrow{N}$ будет выражаться как:

   $$\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{M}}{2}.$$

   Поскольку $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD}$, то $\overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \mathbf{d}$. Подставляем это в выражение для $\overrightarrow{N}$:

   $$\overrightarrow{N} = \frac{(\overrightarrow{A} + \mathbf{d}) + \left( \overrightarrow{A} + \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{2} \right)}{2}.$$