Хозяйка перекладывает яйца с одной корзины в другую по 2, 3, 4, 5, 6 яиц — остаётся остаток 1, а по 7 — без остатка. Сколько было яиц?

Нужно найти число $N$, которое:

• при перекладывании по $2,3,4,5,6$ даёт остаток $1$;

• при перекладывании по $7$ делится без остатка.

1) Условие с остатком 1 для 2–6

Запишем в виде сравнений:

Это означает, что число $N-1$ делится на каждое из чисел $2,3,4,5,6$.
Значит, $N-1$ кратно их наименьшему общему кратному.

Тогда:

2) Условие делимости на 7

По условию:

Подставим $N=60k+1$:

Так как $60 \equiv 4 \pmod 7$, получаем:

Найдём $k$. Обратное к 4 по модулю 7 — это 2, потому что $4\cdot2=8\equiv1\pmod7$. Умножаем обе части на 2:

Значит:

3) Наименьшее число яиц

Берём минимальное $t=0$:

Проверка

• $301$ при делении на $2,3,4,5,6$ даёт остаток $1$ (потому что $300$ делится на все эти числа),

• $301$ делится на $7$: $301=7\cdot43$.

Ответ: 301 яйцо.