Ребро куба – 20 см. Вычислите угол α между диагональю куба и его основанием, угол β между диагоналями куба.

Чтобы вычислить углы между диагоналями куба, давайте начнем с того, что у нас есть куб с ребром длиной 20 см. Мы ищем два угла: угол α между диагональю куба и его основанием, и угол β между диагоналями куба.

Угол α между диагональю куба и основанием

Диагональ куба — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба. Диагональ в основании (плоскости основания) — это диагональ квадрата, образованного сторонами куба.

1. Длина диагонали основания:
   Диагональ квадрата с длиной ребра $a$ вычисляется по формуле:

   $$d_{основания} = a \sqrt{2}$$

   Подставляем значение $a = 20$:

   $$d_{основания} = 20 \sqrt{2} \approx 28.28 \, \text{см}$$

2. Длина диагонали куба:
   Диагональ куба соединяет противоположные вершины куба, и её длина вычисляется по формуле:

   $$d_{куба} = a \sqrt{3}$$

   Подставляем значение $a = 20$:

   $$d_{куба} = 20 \sqrt{3} \approx 34.64 \, \text{см}$$

3. Вычисление угла α:
   Теперь, чтобы найти угол α, между диагональю куба и основанием, нужно воспользоваться скалярным произведением. Направления диагоналей куба и основания можно считать векторами в пространстве.

   Вектор диагонали основания будет:

   $$\vec{d_{основания}} = (20, 20, 0)$$

   Вектор диагонали куба будет:

   $$\vec{d_{куба}} = (20, 20, 20)$$

   Скалярное произведение этих векторов:

   $$\vec{d_{основания}} \cdot \vec{d_{куба}} = 20 \cdot 20 + 20 \cdot 20 + 0 \cdot 20 = 400 + 400 = 800$$

   Модуль вектора диагонали основания:

   $$|\vec{d_{основания}}| = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20 \sqrt{2}$$

   Модуль вектора диагонали куба:

   $$|\vec{d_{куба}}| = \sqrt{20^2 + 20^2 + 20^2} = 20 \sqrt{3}$$

   Тогда угол α вычисляется по формуле:

   $$\cos \alpha = \frac{\vec{d_{основания}} \cdot \vec{d_{куба}}}{|\vec{d_{основания}}| \cdot |\vec{d_{куба}}|}$$ $$\cos \alpha = \frac{800}{(20 \sqrt{2}) (20 \sqrt{3})} = \frac{800}{20^2 \sqrt{6}} = \frac{800}{400 \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$$