Из ящика, где хранятся 5 желтых и 7 красных карандашей, продавец, не глядя, вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что: а) все карандаши окажутся желтыми; б) первые два карандаша — желтые, а третий — красный.

Для решения задачи будем использовать формулы для вероятности для безвозвратного извлечения предметов.

а) Все карандаши окажутся желтыми

Итак, из ящика с 5 желтыми и 7 красными карандашами нужно извлечь 3 карандаша. Мы ищем вероятность того, что все три извлеченных карандаша окажутся желтыми.

Общее количество карандашей в ящике: $5 + 7 = 12$.

Число способов извлечь 3 карандаша из 12 можно найти через сочетания:

Теперь посчитаем, сколько способов можно выбрать 3 желтых карандаша из 5:

Таким образом, вероятность того, что все три карандаша окажутся желтыми, равна:

б) Первые два карандаша — желтые, а третий — красный

Теперь ищем вероятность того, что первые два карандаша окажутся желтыми, а третий — красным.

Для того чтобы вычислить такую вероятность, будем поочередно вычислять вероятность того, что каждый следующий извлеченный карандаш будет нужного цвета.

• Для первого карандаша вероятность того, что он будет желтым: $\frac{5}{12}$ (поскольку всего 5 желтых из 12).

• Для второго карандаша, вероятность того, что он тоже будет желтым, если первый уже выбран: $\frac{4}{11}$ (осталось 4 желтых и 11 карандашей в целом).

• Для третьего карандаша, вероятность того, что он будет красным: $\frac{7}{10}$ (осталось 7 красных и 10 карандашей в целом).

Теперь перемножим эти вероятности:

Таким образом, ответы на вопросы:

а) Вероятность того, что все карандаши окажутся желтыми: $\frac{1}{22}$.

б) Вероятность того, что первые два карандаша — желтые, а третий — красный: $\frac{7}{66}$.