Игральная кость бросается 5 раз подряд. Какова вероятность того, что двойка выпадет три раза?

Задача о вероятности выпадения двойки трижды при пяти подбрасываниях игральной кости сводится к задаче биномиального распределения.

Шаги решения:

1. Определение вероятности выпадения двойки:
   На игральной кости есть 6 сторон, и вероятность выпадения каждой стороны — 1/6. Таким образом, вероятность того, что при одном подбрасывании выпадет двойка, составляет:

   $$P(\text{двойка}) = \frac{1}{6}$$

   Вероятность того, что не выпадет двойка (то есть выпадет любая другая сторона), равна:

   $$P(\text{не двойка}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

2. Использование формулы биномиального распределения:
   Биномиальное распределение описывает количество успехов в определенном числе независимых испытаний. В данной задаче:

   • Число испытаний — 5 подбрасываний.

   • Мы ищем вероятность того, что успех (выпадение двойки) произойдет ровно 3 раза.

   Формула биномиального распределения выглядит так:

   $$P(k \text{ успехов}) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

   где:

   • $n$ — число испытаний (5 подбрасываний),

   • $k$ — количество успехов (3 выпадения двойки),

   • $p$ — вероятность успеха (1/6),

   • $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

     $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

3. Расчет вероятности:
   Вставим значения в формулу:

   $$P(3 \text{ двойки}) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

   Сначала найдем биномиальный коэффициент:

   $$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

   Теперь подставим все значения в формулу:

   $$P(3 \text{ двойки}) = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$$ $$P(3 \text{ двойки}) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36}$$ $$P(3 \text{ двойки}) = 10 \cdot \frac{25}{7776} = \frac{250}{7776}$$

4. Упрощение дроби:
   Дробь $\frac{250}{7776}$ не сокращается, и это есть окончательный ответ.

Ответ:

Вероятность того, что при пяти подбрасываниях игральной кости выпадет двойка ровно трижды, составляет $\frac{250}{7776}$, что примерно равно 0,0321 или 3,21%.