Найдите точку максимума функции у=х∧3 +4,5 х∧2 - 12х -22

Для нахождения точки максимума функции $y = x^3 + 4.5x^2 - 12x - 22$, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции:
   Первая производная функции $y$ по $x$ показывает скорость изменения функции в каждой точке и помогает найти критические точки (точки, где функция может иметь максимум или минимум).

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(4.5x^2) - \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(22)$$

   Используем стандартные правила дифференцирования:

   $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 9x - 12$$

2. Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

   $$3x^2 + 9x - 12 = 0$$

   Разделим обе части на 3 для упрощения:

   $$x^2 + 3x - 4 = 0$$

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = 3$, и $c = -4$.

   Подставим значения:

   $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x = \frac{-3 \pm 5}{2}$$

   Это дает два корня:

   $$x = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad \text{или} \quad x = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

   Таким образом, критические точки — $x = 1$ и $x = -4$.

3. Определим, какая из этих точек является точкой максимума, а какая — минимумом. Для этого воспользуемся второй производной.

   Находим вторую производную функции:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 9x - 12)$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 9$$

4. Подставляем критические точки в вторую производную:

   Для $x = 1$:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(1) + 9 = 6 + 9 = 15$$

   Поскольку вторая производная положительна, то в точке $x = 1$ находится локальный минимум.

   Для $x = -4$:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(-4) + 9 = -24 + 9 = -15$$

   Поскольку вторая производная отрицательна, то в точке $x = -4$ находится локальный максимум.

Итак, точка максимума функции $y = x^3 + 4.5x^2 - 12x - 22$ — это $x = -4$