При каких значениях параметра \( a \) оба корня уравнения \((a-1)x^2 + (2a-3)x + a-3 = 0\) меньше 1?

Чтобы найти при каких значениях параметра $a$ оба корня квадратного уравнения $(a-1)x^2 + (2a-3)x + a-3 = 0$ меньше 1, нужно выполнить несколько шагов.

1. Решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

   Уравнение имеет вид:

   $$(a-1)x^2 + (2a-3)x + a-3 = 0$$

   Это стандартное квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$, где:

   • $A = a-1$

   • $B = 2a-3$

   • $C = a-3$

   Для нахождения корней уравнения используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$$

   Для того чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть неотрицателен, то есть:

   $$\Delta = B^2 - 4AC \geq 0$$

   Подставляем значения $A$, $B$ и $C$:

   $$\Delta = (2a-3)^2 - 4(a-1)(a-3)$$

   Упростим:

   $$\Delta = (2a-3)^2 - 4(a-1)(a-3) = 4a^2 - 12a + 9 - 4(a^2 - 4a + 3)$$ $$\Delta = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 16a - 12 = 4a - 3$$

   Таким образом, дискриминант:

   $$\Delta = 4a - 3$$

   Чтобы уравнение имело два действительных корня, дискриминант должен быть неотрицателен, то есть:

   $$4a - 3 \geq 0$$

   Решая неравенство:

   $$a \geq \frac{3}{4}$$

2. Условия для корней меньше 1:

   Корни уравнения по формуле находятся как:

   $$x = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$$

   Для того чтобы оба корня были меньше 1, нужно удовлетворить двум условиям:

   1. $x_1 + x_2 < 2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

   2. $x_1 \cdot x_2 < 1$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

   Для квадратного уравнения с коэффициентами $A$, $B$ и $C$ выполняются следующие соотношения для суммы и произведения корней:

   • Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$

   • Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

   Подставим наши значения $A = a-1$, $B = 2a-3$, $C = a-3$:

   • Сумма корней:

     $$x_1 + x_2 = -\frac{2a-3}{a-1}$$

   • Произведение корней:

     $$x_1 \cdot x_2 = \frac{a-3}{a-1}$$