Вычислить сумму дробей 1/(10*11) + 1/(11*12) + ... + 1/(19*20)

Рассмотрим сумму

Заметим стандартный приём разложения:

потому что

Тогда каждый член нашей суммы можно переписать так:

Подставим в сумму:

Теперь видно, что почти всё сокращается (телескопическая сумма):

• $-\frac{1}{11}$ сокращается с $+\frac{1}{11}$,

• $-\frac{1}{12}$ сокращается с $+\frac{1}{12}$,

• и так далее вплоть до $-\frac{1}{19}$ и $+\frac{1}{19}$.

Остаются только первый «плюс» и последний «минус»:

Вычислим:

Ответ: $\boxed{\frac{1}{20}}$.