Найдите промежутки знакопостоянства функции \( y = \frac{2x - 3}{x + 1} \).

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$, сначала нужно понять, при каких значениях $x$ функция может изменять знак. Рассмотрим следующие этапы.

1. Область определения функции.

   Функция рациональная, и её определение ограничено значением $x = -1$, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю. Следовательно, область определения функции:

   $$x \neq -1.$$

2. Нахождение знака функции.

   Для анализа знаков функции нужно рассмотреть числитель и знаменатель дроби отдельно:

   $$y = \frac{2x - 3}{x + 1}.$$

   Функция меняет знак в точках, где числитель или знаменатель равен нулю. Начнем с нахождения таких точек.

   • Числитель $2x - 3 = 0$ при $x = \frac{3}{2}$.

   • Знаменатель $x + 1 = 0$ при $x = -1$.

   Таким образом, функции меняет знак в точках $x = -1$ (не входит в область определения) и $x = \frac{3}{2}$.

3. Исследование знаков на промежутках.

   Мы делим числовую ось на три промежутка, определенные точками $x = -1$ и $x = \frac{3}{2}$:

   • $(-\infty, -1)$,

   • $(-1, \frac{3}{2})$,

   • $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

   Теперь исследуем знак функции на каждом из этих промежутков, подставляя в $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$ значения $x$ из каждого промежутка.

   • Для промежутка $(-\infty, -1)$, например, подставим $x = -2$:

     $$y = \frac{2(-2) - 3}{-2 + 1} = \frac{-4 - 3}{-1} = \frac{-7}{-1} = 7.$$

     Здесь знак положительный.

   • Для промежутка $(-1, \frac{3}{2})$, например, подставим $x = 0$:

     $$y = \frac{2(0) - 3}{0 + 1} = \frac{-3}{1} = -3.$$

     Здесь знак отрицательный.

   • Для промежутка $(\frac{3}{2}, +\infty)$, например, подставим $x = 2$:

     $$y = \frac{2(2) - 3}{2 + 1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}.$$

     Здесь знак положительный.

4. Ответ.

   Из анализа знаков функции на промежутках можно сделать вывод:

   • На промежутке $(-\infty, -1)$ функция положительна.

   • На промежутке $(-1, \frac{3}{2})$ функция отрицательна.

   • На промежутке $(\frac{3}{2}, +\infty)$ функция положительна.

   Промежутки знакопостоянства функции $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$:

   $$(-\infty, -1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty).$$