Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан гонец, проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?

Для решения задачи представим ситуацию следующим образом:

• Первый юноша двигается со скоростью 40 верст в день.

• Второй гонец двигается со скоростью 45 верст в день, то есть на 5 верст быстрее, чем первый.

Пусть $t$ — это количество дней, через которые гонец догонит первого. За это время первый юноша пройдет $40t$ верст, а гонец — $45t$ верст.

Однако гонец начинает свой путь через один день после первого юноши, то есть, на момент начала его движения первый уже прошел 40 верст. Таким образом, разница в расстоянии между ними на момент старта гонца составляет 40 верст.

Теперь, когда гонец идет на 5 верст быстрее, разница в расстоянии будет сокращаться на 5 верст в день. Нам нужно найти, через сколько дней эта разница в 40 верст будет устранена.

Пусть $t$ — это количество дней, через которое гонец догонит первого. За это время разница в расстоянии будет сокращаться на 5 верст в день, то есть, за $t$ дней разница уменьшится на $5t$ верст. Мы знаем, что эта разница равна 40 верст, поэтому можем составить уравнение:

Решив его, получаем:

Таким образом, второй гонец догонит первого через 8 дней.