2 sin²x + 2 sinx cos2x - 1 = 0. Можете подробно объяснить, как решать это уравнение?

Ответы на вопрос

Отвечает Миронова Василиса.

Решим уравнение

2\sin^2 x+2\sin x\cos 2x-1=0.

Покажу решение по шагам.

1. Заменим $\cos 2x$ через $\sin x$

Одна из самых удобных формулы:

\cos 2x=1-2\sin^2 x.

Подставим это в уравнение:

2\sin^2 x+2\sin x(1-2\sin^2 x)-1=0.

Раскроем скобки:

2\sin^2 x+2\sin x-4\sin^3 x-1=0.

Приведём к более привычному виду:

-4\sin^3 x+2\sin^2 x+2\sin x-1=0.

Чтобы было удобнее, обозначим

t=\sin x.

Тогда получаем кубическое уравнение:

-4t^3+2t^2+2t-1=0.

Умножим на $-1$ :

4t^3-2t^2-2t+1=0.

2. Разложим кубический многочлен на множители

Нужно разложить

4t^3-2t^2-2t+1.

Сгруппируем:

(4t^3-2t^2)+(-2t+1)=0.

Вынесем общие множители:

2t^2(2t-1)-1(2t-1)=0.

Получаем:

(2t-1)(2t^2-1)=0.

Значит,

2t-1=0 \quad \text{или} \quad 2t^2-1=0.

3. Возвращаемся к $\sin x$

Так как $t=\sin x$ , имеем:

Первый случай:

2\sin x-1=0

\sin x=\frac12.

Второй случай:

2\sin^2 x-1=0

\sin^2 x=\frac12

\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.

4. Решаем простейшие тригонометрические уравнения

А) $\sin x=\frac12$

Известные решения:

x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.

Б) $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$

Тогда

x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.

В) $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$

Тогда

x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.

Похожие вопросы

2 sin²x + 2 sinx cos2x - 1 = 0. Можете подробно объяснить, как решать это уравнение?

Ответы на вопрос

1. Заменим $\cos 2x$ через $\sin x$

2. Разложим кубический многочлен на множители

3. Возвращаемся к $\sin x$

Первый случай:

Второй случай:

4. Решаем простейшие тригонометрические уравнения

А) $\sin x=\frac12$

Б) $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$

В) $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика

2 sin²x + 2 sinx cos2x - 1 = 0. Можете подробно объяснить, как решать это уравнение?

Ответы на вопрос

1. Заменим cos⁡2x\cos 2xcos2x через sin⁡x\sin xsinx

2. Разложим кубический многочлен на множители

3. Возвращаемся к sin⁡x\sin xsinx

Первый случай:

Второй случай:

4. Решаем простейшие тригонометрические уравнения

А) sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​

Б) sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt2}{2}sinx=22​​

В) sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}sinx=−22​​

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика

1. Заменим $\cos 2x$ через $\sin x$

3. Возвращаемся к $\sin x$

А) $\sin x=\frac12$

Б) $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$

В) $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$