доказать ,что функция F является первообразной для функции f F(x)=x4-3, f(x)=4x3; F(x)=5x-cosx, f(x)=5+sinx; F(x)= 1/3-1/x, f(x)=1/x2 на промежутке R+.

Чтобы доказать, что функция $F$ является первообразной для функции $f$ на данном промежутке, нужно проверить главное условие:

на этом промежутке.

Разберём каждую пару функций отдельно.

1. $F(x)=x^4-3,\quad f(x)=4x^3$

Найдём производную функции $F$:

поэтому

Но по условию

значит,

Следовательно, функция $F(x)=x^4-3$ действительно является первообразной для функции $f(x)=4x^3$.

2. $F(x)=5x-\cos x,\quad f(x)=5+\sin x$

Найдём производную:

Тогда

По условию

Следовательно,

Значит, функция $F(x)=5x-\cos x$ является первообразной для $f(x)=5+\sin x$.

3. $F(x)=\dfrac13-\dfrac1x,\quad f(x)=\dfrac1{x^2}$ на промежутке $R_+$

Здесь $R_+$ — это множество положительных чисел, то есть промежуток

Проверим производную функции $F$:

Производная постоянной:

Теперь найдём производную $-\frac1x$. Запишем:

Тогда

то есть