Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке: F(x) = x + cosx, f(x) = 1 - sinx на R?

Да, является.

Проверка очень простая: функция $F$ будет первообразной для функции $f$ на промежутке $\mathbb{R}$, если производная $F(x)$ равна $f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Дано:

Найдем производную $F(x)$:

Получили:

Следовательно, функция $F(x)=x+\cos x$ действительно является первообразной для функции $f(x)=1-\sin x$ на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Ответ: да, является.