Доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) F(x)=3x+sinx-e(в степени 2x) f(x)=3+cosx-2e(в степени 2x)

Нужно показать, что $F'(x)=f(x)$ на всей области определения.

Дана

Дифференцируем $F(x)$ почленно, используя правила:

• $(kx)'=k$ для константы $k$;

• $(\sin x)'=\cos x$;

• $\big(e^{u(x)}\big)'=u'(x)\,e^{u(x)}$ (правило цепочки).

Тогда

поскольку для последнего слагаемого $u(x)=2x$ и $u'(x)=2$.

Складывая производные, получаем

Замечаем, что это в точности совпадает с заданной функцией $f(x)$:

Следовательно, $F(x)=3x+\sin x-e^{2x}$ является первообразной для $f(x)=3+\cos x-2e^{2x}$ (на $\mathbb{R}$).