Докажите, что функция F является первообразной для функции f(x) на промежутке (-∞; +∞), если F(x) = x³ - 4, f(x) = 3x².

Покажем, что $F$ — первообразная для $f$ на $(-\infty;+\infty)$. По определению, $F$ является первообразной функции $f$ на данном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка существует производная $F'(x)$ и $F'(x)=f(x)$.

Возьмём $F(x)=x^{3}-4$. Это многочлен, значит он дифференцируем на всей $\mathbb{R}$. Вычислим производную:

Заданная функция $f(x)=3x^{2}$. Получили, что для всех $x\in\mathbb{R}$ выполняется $F'(x)=3x^{2}=f(x)$. Следовательно, по определению первообразной, $F$ является первообразной для $f$ на всём $(-\infty;+\infty)$.