Периметр прямоугольника 30 см, а площадь 54 см². Чему равны стороны прямоугольника?

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольник с периметром 30 см и площадью 54 см². Обозначим стороны прямоугольника через $a$ и $b$ (в сантиметрах).

1. Формулы для прямоугольника:

   • Периметр: $P = 2(a + b)$

   • Площадь: $S = a \cdot b$

2. Подставляем известные значения:
   Периметр:

   $$2(a + b) = 30 \implies a + b = 15$$

   Площадь:

   $$a \cdot b = 54$$

3. Решаем систему уравнений:
   Из $a + b = 15$ получаем $b = 15 - a$. Подставим в уравнение площади:

   $$a \cdot (15 - a) = 54$$ $$15a - a^2 = 54$$ $$a^2 - 15a + 54 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение:

   $$a = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 54}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2}$$

   Получаем два варианта:

   • $a = \frac{15 + 3}{2} = 9$

   • $a = \frac{15 - 3}{2} = 6$

   Тогда $b = 15 - a$:

   • Если $a = 9$, то $b = 6$

   • Если $a = 6$, то $b = 9$

Оба варианта эквивалентны, просто стороны меняются местами.

✅ Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 9 см.