Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру. (Решение должно быть с помощью рационального уравнения)

Давайте разберём задачу пошагово с использованием рационального уравнения.

Дано:

• Расстояние по реке: $S_1 = 6$ км

• Расстояние по озеру: $S_2 = 15$ км

• Время по озеру на 1 час больше, чем по реке

• Скорость течения реки: $v_t = 2$ км/ч

• Неизвестная скорость лодки по озеру: $v$ км/ч

Обозначим:
Скорость лодки в стоячей воде:

• по реке против течения: $v_r - v_t$

• по озеру: $v$

Шаг 1. Составляем выражения для времени

Время движения по реке:

Время движения по озеру:

По условию задачи:

Подставляем формулы времени:

Шаг 2. Выражаем скорость лодки по реке через озеро

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $v_r$. Нам нужно найти $v$, но прямой зависимости пока нет. Обычно в таких задачах подразумевается, что лодка одинаковая, значит её собственная скорость одинакова по реке и по озеру. Тогда:

Подставляем $v_r = v$:

Шаг 3. Составляем рациональное уравнение

Приведём к общему знаменателю или сразу умножим обе части на $v(v-2)$ (чтобы избавиться от дробей):

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

Дискриминант:

Корни:

Получаем два решения:

Шаг 5. Проверка

• Если $v = 5$ км/ч, то время по озеру: $t_2 = 15/5 = 3$ ч
  Время по реке: $t_1=6\mathrm{/}$