Турист проплыл на байдарке 25 км по озеру и 9 км против течения реки за столько же времени, за сколько он проплыл бы по течению той же реки 56 км. Найдите скорость байдарки в стоячй воде, если скорость течения реки равно 2 км/ч.

Давайте разберем задачу пошагово.

Обозначим:

• $v_{\text{байдарки}}$ — скорость байдарки в стоячей воде (км/ч), её нужно найти.
• $v_{\text{течения}} = 2$ км/ч — скорость течения реки.
• $t$ — время, за которое турист проплыл по озеру и против течения реки.
• $t_1$ — время, за которое турист проплыл бы по течению реки 56 км.

Задача утверждает, что время, которое турист затратил на прохождение 25 км по озеру и 9 км против течения реки, равно времени, которое потребовалось бы на 56 км по течению реки. Значит, $t = t_1$.

Теперь распишем выражения для времени в каждой части пути:

1. По озеру (стоячая вода):
   Скорость байдарки в стоячей воде — это просто $v_{\text{байдарки}}$, а путь — 25 км. Тогда время, затраченное на этот участок пути:

   $$t_{\text{озеро}} = \frac{25}{v_{\text{байдарки}}}$$

2. Против течения реки:
   Скорость байдарки против течения реки будет меньше из-за сопротивления течения. Скорость на этом участке составит $v_{\text{байдарки}} - v_{\text{течения}} = v_{\text{байдарки}} - 2$ км/ч. Путь на этом участке — 9 км. Время, затраченное на этот участок:

   $$t_{\text{против}} = \frac{9}{v_{\text{байдарки}} - 2}$$

3. По течению реки:
   Когда турист плывёт по течению, его скорость увеличивается за счёт течения. Скорость на этом участке составит $v_{\text{байдарки}} + v_{\text{течения}} = v_{\text{байдарки}} + 2$ км/ч. Путь — 56 км. Время на этом участке:

   $$t_{\text{по течению}} = \frac{56}{v_{\text{байдарки}} + 2}$$

Так как времена равны:

Решим это уравнение:

Умножим обе части на $v_{\text{байдарки}}(v_{\text{байдарки}} - 2)(v_{\text{байдарки}} + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей.

После этого получим уравнение:

Теперь раскроем скобки и упростим:

Приводим подобные:

Переносим все в одну сторону уравнения: