Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну.Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше,то их можно было разделить поровну.А если бы конфет было бы на 9 штук больше , после деления поровну осталась бы 1 лишняя конфета.Сколько у бабушки внуков?

Для решения задачи давайте обозначим количество конфет у бабушки как $x$, а количество внуков — как $n$.

Согласно условию, есть два сценария:

1. Если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну:

   $$\frac{x + 15}{n} = k$$

   для некоторого целого числа $k$, что эквивалентно:

   $$x + 15 = kn$$

   Отсюда следует:

   $$x = kn - 15$$

2. Если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы 1 лишняя конфета:

   $$\frac{x + 9}{n} = m + \frac{1}{n}$$

   где $m$ — целое число. Это можно переписать как:

   $$x + 9 = mn + 1$$

   Отсюда следует:

   $$x = mn - 8$$

Теперь у нас есть два выражения для $x$:

1. $x = kn - 15$
2. $x = mn - 8$

Приравняем их:

Упрощая это уравнение, получаем:

Так как 7 — простое число, возможны два случая для $n$:

• $n = 1$, $k - m = 7$
• $n = 7$, $k - m = 1$

Теперь рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $n = 1$

Если $n = 1$, тогда $k - m = 7$. В этом случае у бабушки только один внук, и:

• Сначала у нас $x + 15$ делится на 1, что всегда верно.
• Но $x + 9$ должен быть равен $m + 1$, где $m = 0$, что не дает целого решения для $x$.

Таким образом, этот случай не подходит.

Случай 2: $n = 7$

Если $n = 7$, тогда $k - m = 1$. Это дает $k = m + 1$.

Подставим $n = 7$ в одно из уравнений для $x$:

1. $x = 7k - 15$
2. $x = 7m - 8$

Подставим $k = m + 1$ в первое уравнение:

Это уравнение совпадает со вторым, значит, оно верно.

Теперь найдём значение $x$:

• Если $n = 7$ и $k = m + 1$, подставим $m = 0$ (что минимально):

Пробуем $m = 1$:

Пробуем $m = 2$:

Итак, пробуем дальше:

• $m = 3$:

• $m = 4$:

Таким образом, в конечном итоге мы видим, что:

• Если $m = 1$ и $k = 2$:

• Если $m = 3$ и $k = 4$:

Таким образом, количество внуков $n$ равно 7.

В итоге, у бабушки 7 внуков.