Докажите, что функция y = log₁/₂x строго монотонна на всей области определения.

Ответы на вопрос

Отвечает Митина Марина.

Область определения функции

y=\log_{\frac12}x

задаётся условием

x>0.

То есть функция определена на промежутке

(0;+\infty).

Докажем, что она строго монотонна на всей области определения.

Возьмём любые два числа $x_1$ и $x_2$ из области определения, причём

0

Нужно сравнить значения функции:

\log_{\frac12}x_1 \quad \text{и} \quad \log_{\frac12}x_2.

Обозначим

\log_{\frac12}x_1=a, \qquad \log_{\frac12}x_2=b.

Тогда по определению логарифма:

\left(\frac12\right)^a=x_1, \qquad \left(\frac12\right)^b=x_2.

А так как

x_1

то получаем

\left(\frac12\right)^a<\left(\frac12\right)^b.

Теперь важно вспомнить, что показательная функция

\left(\frac12\right)^t

строго убывает, потому что её основание находится между $0$ и $1$ :

0<\frac12<1.

Для строго убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому из неравенства

\left(\frac12\right)^a<\left(\frac12\right)^b

следует, что

a>b.

Возвращаясь к обозначениям, имеем:

\log_{\frac12}x_1>\log_{\frac12}x_2.

Значит, если

0

то

\log_{\frac12}x_1>\log_{\frac12}x_2.

По определению это означает, что функция

y=\log_{\frac12}x

строго убывает на всей своей области определения $(0;+\infty)$ .

Следовательно, функция $y=\log_{\frac12}x$ строго монотонна на всей области определения, причём она является строго убывающей.

Ответы на вопрос