Решите log1/5(2x-1)+log1/5 x>0

Ответы на вопрос

Отвечает Попова Лера.

Рассмотрим неравенство:

\log_{1/5}(2x - 1) + \log_{1/5}(x) > 0

Для начала воспользуемся свойствами логарифмов. Напомним, что для логарифмов с основанием, меньшим 1 (например, $\log_{1/5}$ ) выполняется следующее свойство:

\log_b a = \frac{\log a}{\log b}

где $b < 1$ , а логарифм с таким основанием всегда будет отрицательным, если $a > 1$ .

Шаг 1: Применим логарифмическое правило

Воспользуемся следующим свойством логарифмов:

\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)

Тогда неравенство можно преобразовать в одну логарифмическую функцию:

\log_{1/5}((2x - 1) \cdot x) > 0

Шаг 2: Упростим выражение

Рассмотрим выражение внутри логарифма:

(2x - 1) \cdot x = 2x^2 - x

Таким образом, неравенство примет вид:

\log_{1/5}(2x^2 - x) > 0

Шаг 3: Преобразуем логарифм

Поскольку логарифм с основанием меньше 1 меняет знак при переходе через 1, то можно переписать неравенство следующим образом:

2x^2 - x < 1

Шаг 4: Решаем неравенство

Теперь решим квадратное неравенство:

2x^2 - x - 1 < 0

Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

2x^2 - x - 1 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}

x = \frac{1 \pm 3}{4}

Получаем два корня:

x = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{и} \quad x = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}

Таким образом, неравенство $2x^2 - x - 1 < 0$ решается для значений $x$ между корнями:

-\frac{1}{2} < x < 1

Шаг 5: Учитываем область определения логарифмов

Логарифм определен только для положительных чисел. Это означает, что $2x - 1 > 0$ и $x > 0$ .

Из условия $2x - 1 > 0$ следует, что $x > \frac{1}{2}$ .

Таким образом, мы объединяем эти ограничения:

\frac{1}{2} < x < 1

Ответ:

Решением неравенства является интервал:

\boxed{\left( \frac{1}{2}, 1 \right)}

Похожие вопросы