Решите log1/5(2x-1)+log1/5 x>0

Рассмотрим неравенство:

Для начала воспользуемся свойствами логарифмов. Напомним, что для логарифмов с основанием, меньшим 1 (например, $\log_{1/5}$) выполняется следующее свойство:

где $b < 1$, а логарифм с таким основанием всегда будет отрицательным, если $a > 1$.

Шаг 1: Применим логарифмическое правило

Воспользуемся следующим свойством логарифмов:

Тогда неравенство можно преобразовать в одну логарифмическую функцию:

Шаг 2: Упростим выражение

Рассмотрим выражение внутри логарифма:

Таким образом, неравенство примет вид:

Шаг 3: Преобразуем логарифм

Поскольку логарифм с основанием меньше 1 меняет знак при переходе через 1, то можно переписать неравенство следующим образом:

Шаг 4: Решаем неравенство

Теперь решим квадратное неравенство:

Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Получаем два корня:

Таким образом, неравенство $2x^2 - x - 1 < 0$ решается для значений $x$ между корнями:

Шаг 5: Учитываем область определения логарифмов

Логарифм определен только для положительных чисел. Это означает, что $2x - 1 > 0$ и $x > 0$.

Из условия $2x - 1 > 0$ следует, что $x > \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы объединяем эти ограничения:

Ответ:

Решением неравенства является интервал: